光彈性法原理

1.2.1 理論基礎

光具有波動性，振動方向和傳播方向垂直，光源所發射的光包含一系列向各個方向振動的光波。如圖1.1所示，通過引入偏振器P，只有和偏振器偏振軸平行的振動分量能通過，該通過的光波被稱為平面偏振光。如果光路中有另一個偏振器A，當兩偏振器的偏振軸相互垂直時，光束將會被完全阻隔。

圖1.1 光的偏振

光在真空中或者空氣中的傳播速度為，在其他介質中，光的傳播速度為較低的，比值被稱為折射率。不考慮傳播方向和平面振動的情況下，均勻介質的折射率為常數，然而在晶體中，折射率取決于振動方向下相對于折射率主軸的方向。在各向異性晶體中一點的光學性質在幾何上也可以用折射率橢球表示為

而在三向應力狀態下，一點的應力可以用橢球應力方程表示為

其中，橢球的三個主軸即為該點的應力主軸。

比較式(1.1)和(1.2)可以看出，應力橢球和折射率橢球的應力主軸和折射率主軸重合。各向同性的透明固體材料在應力作用下能表現出和晶體一樣的雙折射效應，而點的應力狀態于光學性質又存在著上述對應關系，這是建立光彈性應力分析的基礎。一些材料（尤其是塑料）在無應力狀態下表現為各向同性，而在應力狀態下則表現為各向異性。

圖1.2 平面偏振系統

當偏振光通過厚的塑料板的一點時，該點的主應力方向分別為X和Y，光矢量被分為兩束偏振光并沿著平面X和Y傳播，如圖1.2所示。如果沿X和Y方向的應力大小分別為和，沿該方向振動的光波光速分別為和，每束光通過平板的傳播時間為和，那么兩束光間的光程差為

應力光學定律表示為

式中，K為稱為“應力光性系數”，用于描述材料的物理性質，它通常是通過校正得到的非尺寸常數，和應變計的“靈敏度”相似。結合等式(1.3)和(1.4)可以得到

最終得到光彈法的基本測量關系式

兩束偏振光間存在相對滯后，兩束光由該塑料射出時不再同相位。檢偏鏡A僅使這些光中的偏振方向與偏振軸平行的分量通過，如圖1.2所示，這些偏振光將相互干涉，光強是光程差、分析鏡與主應力方向的夾角的函數。

在平面偏振系統中，出射光的光強為

式中，為入射光波長。當或者相交的偏振鏡和分析鏡平行于主應力方向時，光強為零，所以平面偏振系統用于測量主應力方向。

圖1.3 圓偏振系統

如圖1.3所示，在光路中加入四分之一波片后，將得到圓偏振光，由此得到的圖像不再受主應力方向的影響，而此時的光強為

在圓偏振系統中，在，時，光強為零。正整數N也是條紋級數，由此，光程差就可以用N來表示，已知就能得到主應力差

式中，為材料條紋值，與材料所使用的光源有關，單位N/mm，表示單位厚度的模型產生一級條紋所需主應力差值。

光強為零的點形成的軌跡的特點是主應力差相等，因此稱為等差線。只要知道了模型材料的厚度t、材料的條紋值f_σ和條紋級數N，就可以得到該點的主應力差值。

1.2.2 光彈性模型

在光彈性實驗中，材料條紋值f_σ是一個關鍵參數，也是唯一的一個聯系力學量和光學量的常數，需要得到小數點后2到3位的精度。特別地，對于對徑壓縮圓盤中心點上的條紋級數與載荷的關系有

式中，N_c為圓盤中心點上的條紋級數，D為圓盤直徑。

使用盡可能多的數據來計算材料的應力條紋值，假設與殘余雙折射相關的條紋級數是位置坐標(x, y)的線性函數，即

式中，A，B，C為常數。任一點的條紋級數等于理論值和殘余條紋級數之和，由應力-光學定律，有

為了計算機實現，另，并根據對徑壓縮圓盤理論得到

式中，R為圓盤半徑。則對于任一點有條紋級數為

這樣從實驗得到的一系列光彈性數據(x, y, N)，可使用最小二乘標準來確定未知數f_σ。

以直徑30 mm、厚4.8 mm的聚碳酸酯圓板為例，如圖1.4所示為一次實驗結果圖，圖像放大率30/476 = 0.06302521 mm/pixel，迭代得到的材料條紋值為，如圖1.5所示為不同載荷下人工得到的材料條紋值條形圖，其平均值為。由于具有一定寬度的等色線條紋難以憑視覺準確判斷是否通過圓盤中心，而且圓盤中心位置也難以人工準確確定，因此人工測試結果存在不可避免的人為誤差，要通過多次測量平均來盡可能消除。

綜上所述，該聚碳酸酯模型所具有的材料條紋值為f_σ = 7.80 N/mm。